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# QBQP 算法
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寄存器分配算法。
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## 约束方程的含义
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主要就是约束方程了：
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min\{ \sum_{i \le i \lt j \le n} X_i^T C_{ij} X_j + \sum_{i=1}^n X_i^T \vec{E(t_i)} \}
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$$
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- $X_i = (x_{i, sp}, x_{i, r_1}, x_{i, r_2}, ..., x_{i, r_K})^T$
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- 这里 $x_{i, sp}$ 表示将 $t_i$ spill -> stack 的代价。
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- $X_i = (x, xxx, ..., x)^T$ 只有一个 分量=1，其他都是 0
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- K 表示 $t_i$ 有 K 个可选的寄存器(不一定是所有的 physical reg，这是显然的，比方说不想要破坏到 callee-saved 寄存器)。
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- $C_{ij}$ 量化了 $t_i$ 和 $t_j$ 之间的相互影响
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- i === j? (不一定，比方说在传参的时候，i 可以放到 a0， 但是 j 是不能放到 a0 的)
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- 但是我有一种想法: 就是我认为还是要把 32 个寄存器全部摆上台面的，如果不能用，我认为可以相应的可以设置为 $\infin$ ，这显然可能会变成一个 稀疏矩阵，然后是不是可以进行 凸优化啥的。如果 i!=j 并且有: $R_i$ ^ $R_j \ne \phi$ 那这可能需要对齐，可能有点麻烦
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- 如果 i === j，那么可以做一件事情：将 $c_{ij}$ 的对角线设置为 负数。对角线意味着: virtual reg $t_i$ 和 $t_j$ 是可接合的，可以分配到 同一个 physical reg 的，负数的 语义 是：鼓励接合(代价总是越小越好)
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- $\vec{E(t_i)}$ : $t_i$(virtual reg) 溢出的代价。如果每个 $t_i$ 都选择了 spill ，那么相当于是: $\forall t_i, X_i = (1, 0, ..., 0)$，那么 $\sum_{i=1}^n s_i X_i = \sum_{i=1}^n E(t_i)$
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## 启发式 规约求解
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### reduce 1
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如果只有 $K^2$ 的完全图，有两个节点 X 和 Y ，
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那么上面的约束方程可以写成:
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$$
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min\{ X^T C Y + X^T \vec{E(x)} + Y^T \vec{E(y)} \}
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$$
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最终经过一通数学计算可以得到：
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（如何求解？ 一个关键步骤是: 令 某一串式子 = 0 ）
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$$
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Y^T ( \vec{E(y)} + ( ... min\{ X + C_{,k} \}_{ 1 \le k \le i } ... )_{i} )
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$$
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### reduce 2
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```
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C_yz[i][j] = min{ C_xy(第i列) + C_xz(第j列) + E_x }
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```
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这里将一个向量 通过 min(reduce) 规约成一个标量
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### reduce N
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```
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for (i = 1; i < len(E_y); i++) {
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delta(i) = 0;
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for (j = 1; j < len(E_z); j++) {
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delta(i) = min(C_xy(i, :) + E_y);
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}
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}
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min_index = get_min_index(delta);
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for y : vertex in adj(x) {
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E_y += C_xy(min_index, :);
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}
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```
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state i -> 指的是选中 C_xy 的第 i 列（ y 是 x 的所有 adj ） -> delta(i) += C_xy(i, :)。
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找到 delta(i) 最低的那一列，然后再更新每一个代价向量
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## 伪代码
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伪代码 ( from 华保健 ) 如下：
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```pseudocode
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void reduce_1(vertex x) {
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y = adj(x);
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for (i = 1; i < len(E_y); i++) {
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delta(i) = min(C_xy(i, :) + E_x);
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}
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E_y += delta;
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remote_vertex(x);
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}
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void reduce_2(vertex x) {
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y, z = adj(x);
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for (i = 1; i < len(E_y); i++) {
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for (j = 1; j < len(E_z); j++) {
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delta(i) = min(C_xy(i, :) + C_xz(j, :) + E_x);
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}
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}
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C_yz += delta;
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remote_vertex(x);
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}
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void reduce_N(vertex x) {
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for (i = 1; i < len(E_y); i++) {
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delta(i) = 0;
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for (j = 1; j < len(E_z); j++) {
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delta(i) = min(C_xy(i, :) + E_y);
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}
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}
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min_index = get_min_index(delta);
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for y : vertex in adj(x) {
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E_y += C_xy(min_index, :);
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}
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remote_vertex(x);
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}
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void solve_PBQP(graph pbqp_model) {
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while (pbqp_model still has edges) {
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simplify(pbqp_model);
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while (there exists any vertex x of degree 1) {
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reduce_1(x);
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}
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while (there exists any vertex x of degree 2) {
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reduce_2(x);
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}
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while (there exists any vertex x of degree >= 2) {
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reduce_N(x);
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}
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}
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}
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```
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### rust
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看 src/main.rs (from gpt)
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